Superficies.

Definición de superficie: 

Una superficie es el lugar geométrico de las posiciones distintas de una línea o curva en el espacio. Una superficie es la envoltura que circunda a un cuerpo. Los planos directores o directrices son los que establecen el movimiento de la generatrices de la superficie. Pueden ser limitadas o ilimitadas según que contengan un volumen finito dentro de un cuerpo o no. Superficie tangencial es aquella que tiene una línea común como otra superficie, sin cortarla ni atravesarla.

Superficie plana es aquella en la que se pueden trazar líneas rectas en cualquier dirección de la misma.

Superficie envolvente es la que genera distintas posiciones de otra superficie llamada involuta.

Tipos de superficies:

Superficies regladas:

Se engendran por el movimiento de una recta y pueden ser seguidas por una regla de manera que toque a todos los puntos de la superficie a través de una de sus generatrices. Superficie reglada es la que se puede seguir con una regla por todas sus caras tocando todos sus puntos.

Superficie cilíndrica:

Es aquella que genera una recta cuando se mueve siempre paralela a una dirección dada.

Superficie cónica:

Se engendra por una línea recta que se desplaza incidiendo siempre en un mismo punto fijo y por una línea directriz curva. (Línea directriz es aquella línea por la que pasan todas las generatrices, y las generatrices son las líneas que determinan la superficie).

La superficie es reglada por estar formada por cilindros (intersección de 3 cilindros iguales de ejes concurrentes ortogonales). Los cilindros son superficies cuyas generatrices pueden seguirse con una regla tocando todos sus puntos.

Superficies desarrollables:

Son las que se pueden extender sobre un plano sin deformación, como por ejemplo las superficies cilíndricas y cónicas. Dos generatrices infinitamente próximas se cortan. Si un plano es tangente a la superficie en un punto lo es en toda la generatriz que pasa por ese punto,por regla general cualquiera de estas propiedades son suficientes para que la superficie sea considerada desarrollable.

Superficies radiadas :

Son las que se generan por el movimiento de una recta apoyada en un punto propio o impropio y sobre una línea o curva.Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.

Superficies alabeadas: 

Son las que no se pueden desarrollar y tienen sus generatrices infinitamente próximas. La superficie alabeada es la que siendo reglada (que quiere decir que se puede hacer con líneas rectas) no se puede desarrollar (que quiere decir que no se puede extender sobre un plano sin deformación). Un plano tangente a las mismas en un punto contiene a su generatriz pero no es tangente a la superficie en otros puntos de la generatriz.Son las que se generan por el movimiento de una línea recta de forma que dos posiciones adyacentes de una recta se cruzan. En la figura un conjunto de líneas rectas se apoyan en otras dos, llamadas directrices, generando una superficie reglada alabeada.Una curva alabeada es una línea en la que todos sus puntos no están sobre el plano.

Superficie alabeada y superficie reglada alabeada son sinónimos, se utilizan indistintamente.

Clasificación de las superficies alabeadas: las generatrices deben apoyarse siempre sobre tres directrices:

1- Se apoya sobre tres directrices sin perder en ningún momento el contacto con ellas.

En este caso tenemos el hiperboloide elíptico y de revolución, construidos sobre tres líneas rectas.

Curvas alabeadas construidas con dos líneas rectas y una curva.

Curvas alabeadas construidas con tres líneas curvas.

Curvas alabeadas construidas con una línea recta y dos curvas, por ejemplo el cuerno de vaca o paso oblicuo.

2- Se apoyan en dos líneas directrices y siempre están paralelas a un plano director.

Apoyado sobre dos líneas rectas tenemos el paraboloide hiperbólico.

Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el conoide y el helicoide recto.

Apoyado en dos líneas curvas tenemos el cilindroide.

3- Se apoyan en dos líneas directrices y forma la generatriz siempre un mismo ángulo con algún plano.

Apoyado en dos líneas rectas tenemos el hiperboloide concoideo

Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el helicoide oblicuo.

Apoyado en dos líneas curvas tenemos el helicoide oblicuo.

Todas las superficies alabeadas son siempre regladas, esto quiere decir que se pueden generar con una línea recta. Si en un punto de una superficie reglada sólo se puede trazar una línea recta y no más se dice que la superficie reglada es simple, también denominada reglada simple o de simple reglaje. Si se pueden trazar dos será de doble reglaje. Las superficies de doble reglaje son el hiperboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico.

Superficies cerradas:

Un ejemplo de una superficie cerrada y múltiplemente conexa es el triple toro.

Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". En 4 o más dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma.

Superficie compuesta:

Es aquella engendrada o constituida por la combinación de otras.

Superficies de doble curvatura :

Son las generadas por el movimiento de una curva. Existen dos tipos: las superficies de revolución generadas por el movimiento de una curva que gira en torno a un eje y las superficies de evolución o de desarrollo que son generadas por el movimiento de una curva que puede ser variable y a lo largo de una trayectoria que no es circular. Todas las superficies de doble curvatura que no son de revolución, lo son de evolución.

La superficie de revolución se genera por una línea o curva que gira en torno a una recta llamada eje de revolución, estando ambas en el mismo plano.

Superficie de revolución :
está engendrada por una línea o curva que gira en torno a un eje y es co-planaria con él.

Superficies de revolución de doble curvatura: 

Un cono es una superficie de revolución porque se engendra con una recta que gira en torno a un eje pero no es de revolución de doble curvatura porque la que gira es una recta y no una línea curva.La esfera sí que es una superficie de revolución de doble curvatura ya que es una curva que gira en torno a uno de sus diámetros.

Todas las curvas cónicas generan al girar la cónica sobre un eje una superficie de revolución de doble curvatura, la elipse genera el elipsoide, la hipérbola el hiperboloide, la circunferencia la esfera o el toro, la parábola el paraboloide, etcétera.

Si cogemos formas irregulares se tienen superficies complejas de revolución como pueden ser jarros, pies de lámparas etc. las superficies de doble curvatura no son desarrollables, pero se pueden aproximar mediante el desarrollo de superficies cilíndricas entre generatrices.

Todas las secciones ortogonales al eje de revolución son siempre círculos llamados paralelos, mientras que las secciones que pasan por el eje de revolución son meridianos.

Superficie poliédrica:

Es la que está constituida por varios planos que se cortan entre sí.

Superficies de evolución:

Como refiere su nombre, son superficies que evolucionan con curvas o líneas de distinta forma. Superficie de evolución es aquella que evoluciona o se transforma, generándose por la unión de curvas distintas. En la figura un cuadrado se transforma de forma uniforme en una circunferencia. Para su construcción digital se utiliza el comando solevación. Su apariencia a veces es de una forma imposible, de una figura con una perspectiva mal dibujada -como la que aparenta el dibujo.

Como ejemplo de superficies de evolución o de desarrollo tenemos carrocerías de automóviles, fuselajes de aviones, casco de navíos y superficies irregulares complejas que suelen ser redondeadas y suaves y cuya definición del contorno no es suficiente para definirlas. La forma de definirlas es mediante proyecciones principales o secciones principales entre planos paralelos. Es algo análogo a lo que se hace en el sistema acotado, representar una montaña por líneas de contorno o de nivel, este es un ejemplo también del método que se viene haciendo desde hace años para la construcción de barcos.

Superficies de 2º grado, o cuádricas o cuadráticas:

Son aquellas superficies algebraicas que tienen una ecuación de segundo grado (elipsoide, paraboloide elíptico, hiperboloide de revolución o de dos hojas, etc.)

Una recta puede cortar a una cuádrica en un punto, dos o ninguno. Si tiene 3 sobre la cuádrica, la recta pertenece a la superficie. Una cuádrica tiene en cada punto un plano tangente, si tuviera más decimos que la superficie tiene puntos múltiples, cosa que no sucede en estas superficies.

Calculo

Piensa más, diseña menos

(Ellen Lupton).